0

Решение прямой геодезической задачи

Прямая и обратная геодезические задачи.

Предыдущая123456789

Графический способ определения площади на картах и планах.

Существует три способа определения площади участков: геометрический, аналитический и механический. На местности применяют два первых способа, на картах и планах — все три способа.

Геометрический способ — это вычисление площади геометрических фигур по длинам сторон и углам между ними, значения которых можно получить только из измерений.

Таким образом, вариант с измерением трех сторон треугольника оказывается самым эффективным, так как в нем не требуется измерять углы.

Четырехугольник, как геометрическая фигура, может быть параллелограммом, ромбом, трапецией, прямоугольником, квадратом; но как участок местности его следует считать фигурой произвольной формы, так как обеспечение геометрических свойств той или иной фигуры на местности требует дополнительных измерений.

Применение геометрического способа на местности требует разбиения участка на простые геометрические фигуры, что возможно лишь при наличии видимости внутри участка.

При определении площади участков на топографических планах и картах стороны и высоты треугольников, стороны и диагонали четырехугольников нужно измерять с помощью поперечного масштаба.

Для определения площади на карте или плане геометрическим способом часто используют палетку — лист прозрачной бумаги, на котором нанесена сетка квадратов или параллельных линий. Палетку с квадратами накладывают на участок и подсчитывают, сколько квадратов содержится в данном участке; неполные квадраты считают отдельно, переводя затем их сумму в полные квадраты. Площадь участка вычисляют по формуле:

P=n*(a*M)2,

где a — длина стороны квадрата,

M — знаменатель масштаба карты,

n — количество квадратов на участке.

Смысл угловой и линейной невязок, как они рассчитываются в замкнутом

Теодолитном ходе.

Определяют абсолютную невязку fD хода fD = √f 2 x + f 2 y и записывают в ведомость с погрешностью до сотых долей метра.

Вычисляют относительную линейную невязку fD/∑D где ∑D — сумма длин сторон хода, выражаемая простой дробью с единицей в числителе. Для ее нахождения сумму длин сторон хода делят на абсолютную линейную невязку.

Если относительная невязка меньше 1/2000, невязки fx и fy распределяют, вводя поправки в вычисленные значения координат. Поправки вычисляют по формулам: ∆xi = fx;Di/∑D; ∆yi = fxDi/∑D, где ∆xi, ∆yi — поправки в вычисленные значения координат, вводимые с обратным невязкам знаком.

Прямая и обратная геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам одной точки (например точка А), вычисляют координаты другой точки (например точка В), для чего необходимо знать горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками () и дирекционный угол этой линии.

Решение прямой геодезической задачи выполняется по формулам:

где называются приращениями координат и определяются из решения прямоугольного треугольника :

Знаки приращений координат ( ) зависят от четверти, в которой находится заданное направление и определяются по формулам 2, с помощью рисунка приведенного выше, или с помощью таблицы

Обратная геодезическая задача заключается в том, что по известным координатам двух точек (например точек А и В) вычисляют горизонтальное проложение (длину) линии между этими точками ( ) и дирекционный угол этой линии .

Решение обратной геодезической задачи выполняется в следующем порядке:

1) вычисляют приращения координат

2) из решения прямоугольного треугольника определяют румб линии :

откуда

3) по знакам приращений координат ( ) с помощью таблицы определяют в какой четверти находится заданное направление и по известному румбу линии ( ) определяют дирекционный угол линии

Сферические координаты

Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом O (начало сферической системы координат) и полярной осью Ox . Через точку O перпендикулярно основной плоскости проведем ось Oz (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Oz происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).

В сферической системе координат положение точки M , не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием \rho=|\overrightarrow{OM}| до начала координат, полярным углом \varphi точки M_0 — ортогональной проекции точки M на основную плоскость, и углом \theta между вектором \overrightarrow{OM} и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки M — это упорядоченная тройка чисел \rho,\varphi,\theta – радиус (\rho\geqslant0) , долгота (-\pi<\varphi\leqslant\pi) и широта (0\leqslant\theta\leqslant\pi) . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом \rho и широтой \theta=0 для положительной части оси Oz и \theta=\pi для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса \rho . Иногда вместо угла \theta широтой называют угол \psi=\frac{\pi}{2}-\theta , принимающий значения -\frac{\pi}{2}\leqslant\psi\leqslant\frac{\pi}{2} .

Со сферической системой координат O\rho\varphi\theta можно связать прямоугольную систему координат O\vec{i}\vec{j}\vec{k} (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы \vec{i},\vec{k} совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси Ox и оси аппликат Oz соответственно, а базисный вектор \vec{j} выбирается так, чтобы тройка \vec{i},\vec{j},\vec{k} была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).

Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)

Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты x,y,z точки M и её сферические координаты \rho,\varphi,\theta . По рис.2.36,б получаем

\begin{cases}x=\rho\cdot\cos\varphi\cdot\sin\theta,\\y=\rho\cdot\sin\varphi\cdot\sin\theta,\\z=\rho\cdot\cos\theta.\end{cases} (2.21)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам

\left\{\!\begin{aligned} \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\\ \cos\varphi&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \sin\varphi&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\\ \theta&=\arccos\frac{z}{\rho}=\arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}. \end{aligned}\right. (2.22)

Формулы (2.22) определяют долготу \varphi с точностью до слагаемых 2\pi n , где n\in\mathbb{Z} . При x\ne0 из них следует, что \operatorname{tg}\varphi=\frac{y}{x} . Главное значение долготы \varphi~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.13. В сферической системе координат O\rho\varphi\theta :

а) построить координатные поверхности \rho=R,~\varphi=\varphi_0,~z=z_0 ;

б) найти сферические координаты \rho,\varphi,\theta точки A , если известны её прямоугольные координаты A(4,-3,12) ;

в) найти прямоугольные координаты x,y,z точки B , если известны её сферические координаты: \rho=4,~\varphi=\frac{2\pi}{3},~\theta=\frac{3\pi}{4} .

Решение. а) Координатной поверхностью \rho=R , т.е. геометрическим местом точек M(R,\varphi,\theta) при фиксированном значении радиуса \rho=R , является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью \varphi=\varphi_0 , т.е. геометрическим местом точек M(\rho,\varphi_0,\theta) при фиксированном значении долготы \varphi=\varphi_0 , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость \varphi=0 ). Координатной поверхностью \theta=\theta_0 , т.е. геометрическим местом точек M(\rho,\varphi,\theta_0) при фиксированном значении широты \theta=\theta\ne\frac{\pi}{2} , является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина — с началом координат. При \theta=\frac{\pi}{2} получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус \theta=\theta\ne\frac{\pi}{2} и основная плоскость \theta=\frac{\pi}{2} .

б) Найдем сферические координаты точки A(4,-3,12) . По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем

\rho=\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}=13;\quad \varphi=-\operatorname{arctg}\frac{3}{4};\quad \theta=\arccos\frac{12}{13}.

в) По формулам (2.21) получаем

Сферические координаты (сферическая система координат)

Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная плоскость) и на ней задается полярная система координат с полюсом (начало сферической системы координат) и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось (ось аппликат) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).

В сферической системе координат положение точки , не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием до начала координат, полярным углом точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и углом между вектором и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел – радиус , долгота и широта . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом и широтой для положительной части оси и для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса . Иногда вместо угла широтой называют угол , принимающий значения .

Со сферической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат (связанную с данной прямоугольной).

Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и её сферические координаты . По рис.2.36,б получаем

(2.21)

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам

(2.22)

Формулы (2.22) определяют долготу с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение долготы находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.13. В сферической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти сферические координаты точки , если известны её прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны её сферические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении радиуса , является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении долготы , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении широты , является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина — с началом координат. При получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус и основная плоскость .

б) Найдем сферические координаты точки . По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем

в) По формулам (2.21) получаем

(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Часовой пояс: UTC + 3 часа

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *